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卞恩鸿工作室
线段是轴对称图形吗?——兼谈“轴对称图形”的教学 2015/4/2 7:58:13
 

“线段是轴对称图形吗?”看似简单的问题,却有着复杂的学问。解决了这个问题,就是解决了一个看似简单,其实还是一个颇有争议的话题。

一、缘起:网友的问题

网友田平在QQ上问我:“请问,线段是轴对称图形吗?”

我一愣,回答:“怎么问起这个问题?应该是吧!”我不敢肯定的回复,源于简单问题有人问。

随即,我问办公室同事同样的问题,他们也都是迟疑了一下,开始上网搜索。

我同时在网上搜索到:“线段是轴对称图形,它有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。”

二、探究:同事的疑问

“线段是轴对称图形”我可以理解,因为一条对称轴明显是这条线段的中垂线。经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector),简称“中垂线”。但是,“线段的一条对称轴是这条线段所在的直线”大家不好理解。

继续探究,“为什么线段是轴对称图形呢?”原来,任何一个处于三维的空间中的图形都是由两部分构成:即有形的点阵部分和无形的空白部分。对称轴是一条虚拟的直线,它让对称图形沿着它对折后能重合,这个重合其实由三部分组成:(1)对称轴以外的有形点阵部分重合;(2)对称轴以外的无形空白部分(这是我们默认的,经常不考虑);(3)对称轴这条直线上的部分不对折,也无法对折(极限的理论中,我们无法得出最小,例如 cm。我们认为直线没有宽度,其实只是宽度无限小的的一种说法)。

根据上面的解释,我们可以接受“线段的一条对称轴是这条线段所在的直线”。

有个老师认为,“线段没有对称轴”。他的理由是“点、线是构成平面图形的元素,因此点、线是几何图形,但不是平面图形,而教材中的‘轴对称’一开始就是在平面图形中学习的,自然而然‘线段就没有对称轴’了。”对于这位老师的说法,我们要澄清两点:(1)“点、线是构成平面图形的元素”,但不影响“点和线段是平面图形”这个说法。如果构成图形的所有点都在同一平面内,这个图形叫做平面图形。对于“点”来说,构成它的点尽管只有一个,但都在同一个平面,所以它是平面图形。对于“线段”,构成它的点都在一条直线上,也在一个平面内,所以也是平面图形。比如,“1”是自然数的单位,“1”又是自然数中的一分子,但是最小的自然数是“0”。这些并不矛盾。(2)几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线,就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何的内容自然地过渡到了三维空间的立体几何。立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴,从而研究二次曲面(如球面,椭球面、锥面、双曲面,鞍面)的几何分类问题,归结为研究代数学中二次型的不变量问题。“几何图形”与“平面图形”是包容关系,“几何图形”分为“平面几何图形”“立体几何图形”,“平面图形”实际上就是“平面几何图形”。

三、课堂:厘清的问题

1.厘清的概念。小学教学轴对称图形时,课堂上必须搞清以下一些概念:(1)欧几里得的《几何原本》里,直线line)是它上面的点一样地平放着的线。直线,是一个点在平面空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹;不弯曲的线。直线是几何学的基本概念,在不同的几何学体系中有着不同的描述。在日常生活当中,一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象,而数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。(2)在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线ray射线有一个端点,无法测量。几何学中的射线,我们通常形象地把它看作是手电筒发出的光线。3线段(segment)技术制图中的一般规定术语,是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线,如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。数学中的定义,线段是指直线上两个点和它们之间的部分,这两个点叫做线段的端点。用直尺把两点连接起来,就得到一条线段。连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。线段有两个端点,可以测量。4)图形是由点、线、面构成的,图形可分为立体图形和平面图形。平面图形是组成平面图形的元素(点、线)都在同一平面内。立体图形,顾名思义,组成立体图形的元素(点、线、面)在不同的平面内,它们具有一定的长度、宽度和厚度,能占据一定的空间。长方形、圆、三角形都是平面图形。5)轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线就叫做对称轴。比如,圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等,都是轴对称图形。对称轴用点画线表示,即一条短线、一个圆点,一条短线、一个圆点……。学生经常出现下面的错误判断“角和等腰三角形都是轴对称图形,其对称轴分别是角平分线和等腰三角形底边上的高”。这都是由于不能正确把握对称轴的本质造成的。

2.厘清的关系。小学教学轴对称图形时,课堂上必须搞清以下一些概念间的关系:(1点动成线,线动成面。“点”是组成“线”的基本元素;点、线是组成平面图形的元素。2)线段是直线上两点间的部分,射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分。若射线向反向延长,或线段向两方延长,都可以得到直线,若线段向一方延长可得射线,在直线上取两点可以得到一条线段,取一点可以得到两条射线。线段、射线都是直线的一部分。3)轴对称图形肯定是平面图形,平面图形不一定是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴。圆有无数条对称轴,都是经过圆心的直线。

3.厘清的知识。根据轴对称图形的定义及射线、直线与线段的关系,亦可推出:(1)射线是轴对称图形,它的对称轴就是射线本身所在的直线,只有一条。(2)直线是轴对称图形,它有无数条对称轴,一条是直线本身,另外是过直线上任意一点作的垂线。

四、教学:采取的策略

苏教版小学数学教科书只安排三年级下册和四年级下册认识轴对称图形,教学目标分为两个阶段:三年级安排认识轴对称图形;四年级安排学生画轴对称图形的对称轴。

“轴对称图形”如何教学呢?注意从生活实际中选取素材和现代信息技术的应用,加强实验操作教学和学生推理能力的培养,提供个性化的学习空间,满足学生多样化的学习需求,通过合作交流的学习方式达成教学目标。

1.生活素材,认识图形。一是设情境,激兴趣。老师通过《唱脸谱》这首歌,让学生了解“脸谱”。从学生感兴趣的事物着手,激发学生认识新知识的愿望,并把数学教学和相关历史文化相结合,使枯燥乏味的数学教学显得形象生动。二是“识”对称,悟特征。教师引导学生进行观察、比较长方形和正方形,概括、抽象出这类平面图形的特点:左右两边都相同,左右两边形状是一样的,面积也是一样的,把它叠在一起,会重合。然后给出轴对称图形的定义。通过寻找生活中的轴对称图形,引导学生了解判断轴对称图形的方法。三是“赏”对称,扩视野。教师通过引导学生对中外建筑物和剪纸的欣赏,感受美,使学生能感知现实世界中普遍存在轴对称现象,学会欣赏数学美,体验数学的价值,激发学生对数学学习的积极情感。

2.动手实践,做出图形。为了让学生加深对轴对称图形特征的认识,变“学”数学为“做”数学,教学中教师引导学生掌握“折、剪、画”和“在钉子板上拉”等方法,鼓励学生用灵巧的双手用自己喜欢的方法做出一个轴对称图形,让学生体会运用我们所学的知识来进行创造——制作出美丽的轴对称图形。学生不仅可以提高动手实践能力,还可以获得积极的情感体验。

3.理性思考,推理论证。学生在认识轴对称图形的开始就容易出现错误,为什么呢?源于三年级轴对称图形的定义“对折后能完全重合的图形是轴对称图形”,后出现了“平行四边形”。教材几乎都是让学生动手操作来感受轴对称图形的,这就出现一个问题:“动手操作能否代替理性思考”?答案是:不能。教师可以通过判断“平行四边形是不是轴对称图形”来引领学生进行理性思考。比如,引导学生思考:平行四边形沿着对角线剪开,得到的两个三角形的形状有什么特点?形状相同的两个三角形,通过旋转能不能重合?除了形状相同以外,方向还有什么要求?等等。以此来加强对学生推理能力的培养。关于严格的证明问题,在初中才学习,但从小学开始就应加强对学生推理能力的训练。

4.实验操作,画对称轴。学生已经知道什么是轴对称图形以及轴对称图形的对称轴,还知道长方形、正方形都是轴对称图形。以此作为教学的起点,以折和画为学习活动,认识轴对称图形的对称轴,让学生用一张长方形纸折一折,画出它的对称轴。通过折和画再次体会什么是对称轴以及它的位置。两次安排学生画长方形的对称轴:第一次沿着自己对折的长方形纸的折痕画,只画出1条对称轴;第二次在长方形上画,要画出2条对称轴。这样循序渐进地安排,有利于学生认识轴对称图形及对称轴。教学时要注意两点:一是引导学生体会对称轴的含义,它是对折轴对称图形折痕所在的直线;二是讲明对称轴一般画成点划线,即一条短线、一个圆点,一条短线、一个圆点……

五、拓展:课外的知识

1.轴对称。把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合那么就说这两个图形成轴对称。这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点。

轴对称是两个图形间的位置关系,而轴对称图形是一种具有独特特征的图形。轴对称图形或关于某条直线对称的两个图形的对应线段相等,对应角相等。

2.中心对称图形。查阅相关资料发现,对称图形,除了轴对称图形(线对称),还有中心对称图形(点对称)。如果把一个图形绕某一点旋转 后能与自身重合,这个图形就是中心对称图形。常见的中心对称图形有:线段,矩形,菱形,正方形,平行四边形,,边数为偶数的正多边形,某些不规则图形等。正偶边形是中心对称图形;正奇数边形不是中心对称图形。如果一个图形绕着某个定点旋转一定角度(小于周角)后,能与其自身重合,那么,这个图形叫做旋转对称图形。正三角形、正五边形与五角星都是轴对称图形,同时它们也都是旋转对称图形。

相比之下,平行四边形不是轴对称图形,而是中心对称图形,将其旋转 ,能与其自身重合。而圆是旋转对称图形,将其绕圆心旋转任意角度都能和其自身完全重合。(注:现在的中学数学教材中规定只有旋转 后完全重合,才叫中心对称,应该拓广。)

3.中心对称。在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转 后,能与另一个图形重合,那么就说明这两个图形关于这个点成中心对称(Central of symmetry graph),这个点叫做它的对称中心(Center of symmetry),旋转 后重合的两个点叫做对称点(corresponding points)

中心对称的性质:(1)中心对称的两个图形是全等形。(2)中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。(3中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。

中心对称是两个图形间的位置关系,而中心对称图形是一种具有独特特征的图形。

既是轴对称图形又是中心对称图形的有:直线,线段,两条相交直线,矩形,菱形,正方形,圆等。只是轴对称图形的有:射线,角等腰三角形,等边三角形,等腰梯形等。只是中心对称图形的有:平行四边形等。既不是轴对称图形又不是中心对称图形有:不等边三角形,非等腰梯形等。

小学数学教学“轴对称图形”时,不要求学生掌握“中心对称图形”和“中心对称”有关内容,但是,作为小学数学教师的我们必须掌握,课堂教学中渗透,让学生自学了解这些相关知识。我所在的名师工作室主持人袁敬丰老师曾经说过:“小学数学教师必须熟练掌握小学数学所有知识,必须熟悉与小学数学相连的初中数学知识,必须了解与小学数学相通的高中数学知识,必须学习与小学数学相关的高等数学知识。”

 

 

 

 

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(2011版)[S].北京:北京师范大学出版社,2011.

[2]张奠宙,孔凡哲,黄建弘,黄荣良,唐釆斌.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009.

[3]张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2005.

[4]徐建.平行四边形为什么不是轴对称图形[J].教学与管理·小学版,20147.[5]吴伟英,周均华.课例“轴对称图形”及其点评[J].中学数学教学参考·初中版,200710):1518.

[6]李树臣.“轴对称与轴对称图形”教材分析与教学建议[J].山东教育·中学版,20107-8.

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2015/4/2 8:00:46来自:卞恩鸿 加好友 发消息

1.《教育研究与评论·小学教育教学》2014(12) ;

2.《中小学数学·小学版 》2015(03).

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